Question

本题满分13分如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1

的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．

（I）求证：GF//底面ABC；

（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；

（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．

Answer

【解析】
（I）证法一：取BE的中点H，连结HF、GH，（如图1）

∵G、F分别是EC和BD的中点

∴HG//BC，HF//DE，……………… 2分

又∵ADEB为正方形    ∴DE//AB，从而HF//AB

∴HF//平面ABC，HG//平面ABC, HF∩HG=H,

∴平面HGF//平面ABC

∴GF//平面ABC………………4分

（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF//平面AB………………5分

又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC       ………………6分

∴BE⊥AC         

又∵CA2+CB2=AB2

∴AC⊥BC,     

∵BC∩BE=B,

∴AC⊥平面BCE                                  ………………8分

（Ⅲ）连结CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，             ……………… 9分

又平面ABED⊥平面ABC，CN平面ABC，∴CN⊥平面ABED。……………… 10分

∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，       ………………11分

∵C—ABED是四棱锥,

∴VC—ABED=                       ………………13分

【解析】略