Question

（本题满分12分）已知圆x²+y²+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点．

(Ⅰ)求实数m的取值范围；

(Ⅱ)求以PQ为直径且过坐标原点的圆的方程．

Answer

【解析】
(Ⅰ)

（法一）圆C：，圆心，半径

圆心到直线的距离，得；（4分）

（法二）由，有，得m<8；（或者联立得）（4分）

(Ⅱ)设P(x1,y1), Q(x2,y2)，由 

∴

由于以PQ为直径的圆过原点，∴OP⊥OQ， ∴x1x2+y1y2=0，

而x1x2=9－6(y1+y2)+4y1y2= ，∴   解得m=3．（8分）

故P(1,1), Q(－3,3)，圆的方程为，即．（12分）

（法二）设过PQ的圆的方程为

∴，

即

∵圆过原点，∴，又以PQ为直径，则取最小值，此时，故m=3，圆的方程为，即．（12分）

【解析】略