Question

(本小题满分14分)设上的两点，已知向量，,若且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线过椭圆的焦点（0，c），（c为半焦距），求直线的斜率的值；

（Ⅲ）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

Answer

【解析】
（Ⅰ） 

椭圆的方程为                 ………………………………3分

（Ⅱ）由题意，设的方程为

由已知得：

    ……7分

(Ⅲ) （1）当直线AB斜率不存在时，即,由

                    ………………………………8分

又 在椭圆上，所以

所以三角形的面积为定值.                  ……………………………………9分

（2）当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b

                            ……………………………………10分

                          ………………………………………12分    

所以三角形的面积为定值.                 ………………………………………14分

【解析】略