Question

（本题满分15分）如图，点为圆形纸片内不同于圆心的定点，动点在圆周上，将纸片折起，使点与点重合，设折痕交线段于点.现将圆形纸片放在平面直角坐标系中，设圆：,记点的轨迹为曲线.

⑴证明曲线是椭圆，并写出当时该椭圆的标准方程；

⑵设直线过点和椭圆的上顶点，点关于直线的对称点为点，若椭圆的离心率，求点的纵坐标的取值范围.

Answer

（本题满分15分）

【解析】
（1）连结NA, 由题意知，直线m是线段MA的中垂线，

∴NA=NM, 而圆C的半径为    ……………………2分

∴NC+NA=NC+NM=CM=(常数)

∴动点N到两定点C, A的距离之和为常数，

所以，点N的轨迹是以定点C, A为焦点，长轴长为的椭圆  

……………………4分

当时，由于，所以所求椭圆E的方程为   

……………………6分

（2）椭圆E的方程为，其上顶点B

所以，直线的方程为，                  ……………………8分

记点关于直线的对称点

则有，  解得：……………………11分；

由，得，                  ……………………12分

∴，令，因为 则，

∴，∴，                    ……………………14分

所以，点的纵坐标的取值范围是      ……………………15分

【解析】略