Question

（本题满分16分）已知数列中,, 为实常数）,前项和恒为正值，且当时,.

⑴ 求证:数列是等比数列；

⑵ 设与的等差中项为,比较与的大小；

⑶ 设是给定的正整数，.现按如下方法构造项数为有穷数列：

当时，；

当时，.

求数列的前项和.

Answer

（本题满分16分）

解:⑴当时, ,

化简得,                         .………………………2分

又由,得, 解得,

∴，也满足,         .………………………4分

而恒为正值,  ∴数列是等比数列.                .………………………5分

⑵的首项为1，公比为，.当时,,

∴.

当时,,

此时                                         . .……………………7分                

当时,

.

∵恒为正值 ∴ 且,

若,则,    若,则.    .……………………10分

综上可得,当时, ；

当时，若，则，   若,则 .……………………11分

⑶∵  ∴ ,当时, .

若,则由题设得

 ..……………………13分若,则

.

综上得.           .………………………16分

【解析】略