（本题满分10分，选修4-2：矩阵与变换）
已知二阶矩阵M属于特征值3的一个特征向量为
，并且矩阵M对应的变换将点
变成点
，求出矩阵M.
（本题满分16分）已知数列
中,
, 
为实常数）,前
项和
恒为正值，且当
时,
.
⑴ 求证:数列
是等比数列；
⑵ 设
与
的等差中项为
,比较与
的大小；
⑶ 设
是给定的正整数，
.现按如下方法构造项数为
有穷数列
：
当
时，
；
当
时，
.
求数列
的前项和
.
（本题满分16分）已知函数
，设
（1）求
的单调区间；
（2）若以
）图像上任意一点
为切点的切线的斜率
恒成立，求实数
的最小值；
（3）若对所有的
都有
成立，求实数的取值范围。
（本题满分15分）如图，点
为圆形纸片内不同于圆心
的定点，动点
在圆周上，将纸片折起，使点与点重合，设折痕
交线段
于点
.现将圆形纸片放在平面直角坐标系
中，设圆：
,记点的轨迹为曲线
.
⑴证明曲线是椭圆，并写出当
时该椭圆的标准方程；
⑵设直线
过点和椭圆的上顶点
，点关于直线的对称点为点
，若椭圆的离心率
，求点的纵坐标的取值范围.
（本题满分15分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距
米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，建一个桥墩的工程费用为256万元，距离为
米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为
万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为
万元。
（1）试写出关于的函数关系式；
（2）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？
（本题满分14分）如图,在直三棱柱
中,
，
分别是
的中点，且
.
(1)求证：
；
(2)求证：平面
平面
.
