Question

  如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上（点在第一象限），∥．记，梯形面积为．

(1)求面积以为自变量的函数式；

(2)若，其中为常数，且，求的最大值．

Answer

（1），；（2）.

【解析】本试题主要考查了抛物线的方程求解，以及直线与抛物线的位置关系的综合运用。

（Ⅰ）【解析】
依题意，点的横坐标为，点的纵坐标为．…1分

点的横坐标满足方程，解得，舍去．…………2分

所以．……4分

由点在第一象限，得．

所以关于的函数式为 ，．     ………5分

（Ⅱ）【解析】
由   及，得．      ……6分

记，

则．      …………8分

令，得．     ………9分

 ① 若，即时，与的变化情况如下：

↗

极大值

↘

所以，当时，取得最大值，且最大值为．………11分

② 若，即时，恒成立，

所以，的最大值为．       …13分

综上，时，的最大值为；时，的最大值为．