Question

（本题满分14分）已知是函数的一个极值点.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）

 （Ⅱ）的单调增区间是，的单调减区间是

（Ⅲ）。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用导数求解参数的值，以及函数的单调区间，和函数与方程的关系的综合运用。

（1）由于是函数的一个极值点.，则说明在该点的导数值为零，得到参数a的值。

（2）然后利用第一问的结论，得到导数，结合导数的符号与单调性的关系，求解单调区间。

（3）分离函数的思想，研究两个图像的交点个数，即为方程解的问题的运用。

（Ⅰ）因为

        所以

        因此

 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

当时，

当时，

所以的单调增区间是

的单调减区间是

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，

所以的极大值为，极小值为

因此

所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当

因此，的取值范围为。