Question

设函数，其中。

（Ⅰ）若，求a的值；

（Ⅱ）当时，讨论函数在其定义域上的单调性；

（Ⅲ）证明：对任意的正整数，不等式都成立。

Answer

（Ⅰ）【解析】
函数的定义域是                        1分

对求导，得                 3分

由得

解得                                                      4分

（Ⅱ）解由（Ⅰ）知

令，得，则。

所以当时，

方程存在两根

x变化时，与的变化情况如下表：

0

↗

极大值

↘

极小值

↗

 即函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；                  7分

当时，因为

所以（当且仅当时，等号成立），

所以函数在上单调递增；         8分

当时，因为

所以函数在上单调递增。

综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递增。                                        9分

（Ⅲ）证明：当时，

令

则在上恒成立，

所以在上单调递增，                                           10分

则当时，恒有

即当时，有

整理，得                                      11分

对任意正整数n，取得，

所以，整理得           12分

则有

……

所以

，

即                                           14分

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解函数的单调性和极值以及不等式的恒成立问题的综合运用。

（1）因为先求解导数，然后令x=1得到，求解得到a的值；

（2）当a<0时，分类讨论函数f(x)在其定义域上的单调性；

（3）要证明：对任意的正整数n，不等式都成立,要用到当a=1时函数的单调性中的结论来分析求证。