Question

设是定义在上的函数，若存在，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.　　对任意的上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.

（1）证明：对任意的，，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间；

（2）对给定的，证明：存在，满足，使得由（1）所确定的含峰区间的长度不大于；

Answer

(1)证明略  （2）证明略

【解析】新定义题目一定要注意舍得花时间读懂、理解好定义，这是解决问题的关键所在．另外，证明要注意本题的矛盾手法的使用．本题的是借用新定义的手法考查学生对分段函数的理解和掌握，分段函数的学习一向是高中学习的难点．

（1）本题是一道新定义题，咋一看挺繁琐且无从下手，其实这类新定义题目只需牢牢的抓住题干定义，需要分f（x1）≥f（x2）和 f（x1）≤f（x2）两类情况讨论分析；

（2）有了（1）的讨论处理，第（2）显的容易一些，只要借助（1）用r把x1，x2分别表达出来；