Question

（本小题满分12分）

已知（,0），（1,0），的周长为6.

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（II）试确定的取值范围，使得轨迹上有不同的两点、关于直线对称.

Answer

（Ⅰ）（）；

（II）当时，椭圆上存在关于对称的两点。

【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的运用。

（1）因为已知（,0），（1,0），的周长为6.

则动点的轨迹的方程；根据椭圆的定义知，的轨迹是以，为

焦点，长轴长为4的椭圆。

（2）要使得轨迹上有不同的两点、关于直线对称.

假设椭圆上存在关于对称的两点，。

设，直线与椭圆联立方程组，结合又的中点在上得到范围。

【解析】
（Ⅰ）根据椭圆的定义知，的轨迹是以，为

焦点，长轴长为4的椭圆。

∴， ∴

故的轨迹方程为（）

（II）解法1：假设椭圆上存在关于对称的两点，。

设

由 得

由得

∵ ∴

又的中点在上

∴ ∴ ∴

∴，即

故当时，椭圆上存在关于对称的两点。

解法2：设，是椭圆上关于对称的两点，的中点为，则

①－②各得 即

∴

又点在直线上

∴ 即，

而在椭圆内，

∴ ∴

∴当时，椭圆上存在关于对称的两点。