Question

（本小题满分12分）已知函数，，

（1）求函数的最值；

（2）对于一切正数，恒有成立，求实数的取值组成的集合。

Answer

（1）函数在（0，1）递增，在递减。的最大值为.

（2）。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）求解导数，然后根据导数的符号与函数单调性的关系得到判定，求解极值和最值。

（2）要证明不等式恒成立，那么可以通过研究函数的最值来分析得到参数的范围。

【解析】
（1）

所以可知函数在（0，1）递增，在递减。

所以的最大值为.

（2）令函数

得

当时，恒成立。所以在递增，

故x>1时不满足题意。

当时，当时恒成立，函数递增；

当时恒成立，函数递减。

所以;即 的最大值 

令 ,则

令函数  ,

所以当时，函数递减；当时，函数递增；

所以函数，

从而

就必须当时成立。

综上。