Question

（本题12分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，

AD⊥AB，AB=。AD=2，BC=4,AA₁=2，E是DD₁的中点，F是平面B₁C₁E

与直线AA₁的交点。

（1）证明：（i）EF∥A₁D₁；

（ii）BA₁⊥平面B₁C₁EF；

（2）求BC₁与平面B₁C₁EF所成的角的正弦值。

Answer

（1）见解析；(2) BC与平面所成角的正弦值是.

【解析】本试题主要是考查了线线平行的证明，以及线面垂直的证明，以及线面角的求解。

（1）因为在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，

AD⊥AB，AB=。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E

与直线AA1的交点。那么可知得到证明。

（2）先证明垂直于平面内的两条相交直线即可。

（3）根据上一问可知线面垂直，那么利用平面的垂直，得到斜线的射影，进而表示线面角的大小，求解得到。

（1）（i）因为， 平面ADD1 A1，所以平面ADD1 A1.

又因为平面平面ADD1 A1=，所以.所以.   3分

(ⅱ)因为，所以，

又因为，所以，

在矩形中，F是AA的中点，

即.

即，故.所以平面.      4分

(2) 设与交点为H，连结.

由（1）知，所以是与平面所成的角. 在矩形中，，，得，在直角中，，，得

，所以BC与平面所成角的正弦值是.    5分