Question

（本小题满分14分）

如图，在四棱锥中，⊥平面，⊥平面，

，。

（1）求证：平面ADE⊥平面ABE；

（2）求二面角A—EB—D的余弦值．

Answer

（1）见解析；（2）二面角A—EB—D的余弦值为 。

【解析】本试题主要是考查了立体几何中面面垂直的证明以及二面角的求解的综合运用

（1）取BE的中点O，连OC，∵BC=CE, ∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE. 以O为原点建立如图空间直角坐标系O－xyz，则由已知条件表示点的坐标，利用平面的法向量与法向量的夹角来得到证明。

（2）在第一问的基础上得到平面的法向量，结合向量的夹角公式得到结论。

（1）【解析】
取BE的中点O，连OC，∵BC=CE, ∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE. 以O为原点建立如图空间直角坐标系O－xyz，则由已知条件有：

，，，， ……2分

设平面ADE的法向量为，

则由

及

可取  …………4分

又AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，OC⊥平面ABE，

∴平面ABE的法向量可取为＝. ……6分

∵·，∴⊥，∴平面ADE⊥平面ABE. ……8分

（2）设平面BDE的法向量为，

则由

及 可取…………11分

∵平面ABE的法向量可取为 …………12分

∴锐二面角A—EB—D的余弦值为，

∴二面角A—EB—D的余弦值为  …………14分