Question

（本小题满分14分）

已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，讨论的单调性.

Answer

（1） ；（2）当时，函数在上单调递增；函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增；

当时，函数在，上单调递增；函数在上单调递减

【解析】本试题主要是考查了导数的几何意义的运用，以及函数单调性的判定的综合运用。

（1）因为当时，，x∈(0，+∞)，

∴，，，进而得到切线方程。

（2）∵，

∴，x∈(0，+∞)，

令，x∈(0，+∞).，对于参数a分情况讨论得到结论。

【解析】
（1）当时，，x∈(0，+∞)， ……1分

∴，，，……4分

所以切线方程为 ……5分

（2）∵，

∴，x∈(0，+∞)，……7分

令，x∈(0，+∞).

① 当时，，x∈(0，+∞)，所以

当时，，此时，函数在上单调递增；

当时，，此时，函数在上单调递减；……9分

② 当时，由，解得，.

ⅰ）若，，即恒成立，函数在上单调递增； ……11分

ⅱ）若，则，

当时，，此时，函数在上单调递增；

当时，，此时，函数在上单调递减；

当时，，此时，函数在上单调递增；

……14分

综上所述：当时，函数在上单调递增；函数在上单调递减；

当时，函数在上单调递增；

当时，函数在，上单调递增；函数在上单调递减

……14分