Question

（本小题满分14分）设函数（），．

(Ⅰ)令，讨论的单调性；

（Ⅱ）关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；

（Ⅲ）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）函数在上是单调递减；在上是单调递增.

（2）（3）．

【解析】

试题分析：(I)直接求导，利用得到F(x)的单调增（减）区间；

（II）不等式的解集中的整数恰有3个，等价于恰有三个整数解，故，令,因为h(x)的一个零点区间为(0,1),

所以得到另一个零点一定在区间,故,问题到此得解.

(III)由（I）知可知F(x)的最小值为0,则f(x)与g(x)的图像在处有公共点.

如果f(x)与g(x)存在分界线，因为方程即，所以由题意可转化为在恒成立问题解决.

（Ⅰ）由得：

················· 1分

①当时，，则函数在上是单调递增；····· 3分

②当时，则当时，， 当时，

故函数在上是单调递减；在上是单调递增. ···· 5分

（Ⅱ）解法一:不等式的解集中的整数恰有3个，

等价于恰有三个整数解，故，

令，由且，

所以函数的一个零点在区间，

则另一个零点一定在区间，故   解之得．··· 9分

下面证明恒成立．

设，则．

所以当时，；当时，．

因此时取得最大值，则成立．

故所求“分界线”方程为：． …………14分

考点： 利用导数研究函数的单调性，函数的最值，函数的零点，不等式恒成立问题，分析问题解决问题的能力，推理与论证能力.