Question

设函数。

（Ⅰ）若在定义域内存在，使不等式能成立，求实数的最小值；

（Ⅱ）若函数在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围。

Answer

（1）1；（2）

【解析】

试题分析：（1）不等式转化为：能成立，求m最小值。可以转化成求函数在定义域内的最小值。（2）函数在上有两个不同零点，所以在上有两个不同的解，可以令，结合图形研究函数的性质即可。

解答过程：(Ⅰ)要使得不等式能成立，只需。  ………………1分

求导得：，…………………………………2分

∵函数的定义域为， ……………………………………3分

当时，，∴函数在区间上是减函数；

当时，，∴函数在区间(0，+∞)上是增函数。 …………5分

∴，  ∴。故实数的最小值为1。……………………6分(Ⅱ)由得：

…………………7分

由题设可得：方程在区间上恰有两个相异实根。

设。∵，列表如下：

－

0

＋

减函数

增函数

∵，∴。

从而有，                

画出函数在区间上的草图（见图），

易知要使方程在区间上恰有两个相异实根，

只需：，即： 。 ……………12分

考点：本题考查了含参函数中参数的转化问题，将存在性问题转化为函数的最值和函数性质的研究，还需要借助图象工具，数形结合，为一道水平较高的题目。