Question

已知函数R，且

（I）若能表示成一个奇函数和一个偶函数的和，求的解析式；

（II）命题P：函数在区间上是增函数；

命题Q：函数是减函数。

如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；

（III）在（II）的条件下，比较的大小。

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：

（1）将表示成奇函数和一个偶函数的和，分别求，所用知识仅为函数的奇偶性，但是函数将三个函数，的奇偶性综合考察，出题者别具匠心，与以往单纯考察单个函数的奇偶性有较大区别。（2）函数在区间上是增函数，只需要二次函数对称轴≤即可，为一次函数，单调性只和系数相关，解答满足和的参数范围，然后按照真、假和假、真求a的并集即可。（3）将带入，看似与无关，但结合第二步结果，将a的值换成发现左右恰好相等，可以考虑右边定值，左边是函数在临界情况下的结果，研究左边表达式在情况下的值域问题就可解决。

解答过程：（1）

解得……………………………………………4分

（2）在区间上是增函数，

解得

又由函数是减函数，得

∴命题P为真的条件是：

命题Q为真的条件是：

又∵命题P、Q有且仅有一个是真命题，…………………………………8分

（2）由（1）得

设函数

∴函数在区间上为增函数

又………………12分

考点：本题考查了函数奇偶性，含参二次函数和一次函数单调性，利用函数的导数求函数单调性以及逻辑问题。