Question

（本题满分15分）

设分别是椭圆的左、右焦点．

⑴若是该椭圆上的一点，且，求的面积；

⑵若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；

⑶设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．

Answer

（1）（2）的最大值为1，最小值为-2（3）或

【解析】

试题分析：（1）易知，，，所以，，

所以,又是该椭圆上的一点，所以，

因为，所以在中利用余弦定理可知：,

即，

所以的面积为.                                    ……5分

（2）解法一：设P，

则，

因为，故当，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值－2；

当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1。                         ……10分

解法二：（1）易知，，，所以，，设P，则

（以下同解法一）。          ……10分

（3）显然直线不满足题设条件。

可设直线：，A（），B（），

联立，消去，整理得：，

∴，

由得：或 ①

又，

∴，

又，

∵，即，∴    ②

故由①②得或。                                          ……15分

考点：本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、三角形面积、余弦定理和向量的数量积的应用等，考查学生数形结合思想的应用和运算求解能力.