Question

如图，抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，为半径作圆，设圆C与准线交于不同的两点M，N.

（I）若点C的纵坐标为2，求；

（II）若，求圆C的半径.

Answer

（I）（II）

【解析】（Ⅰ）抛物线的准线的方程为，

由点的纵坐标为，得点的坐标为

所以点到准线的距离，又．

所以.

（Ⅱ）设，则圆的方程为，

即.

由，得

设，，则：

由，得

所以，解得，此时

所以圆心的坐标为或

从而，，即圆的半径为

此题以圆为背景考查了解析几何中的常用方法（如设而不求）及圆锥曲线的性质.平时只要注意计算此题问题就不会太大.

【考点定位】 本题考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解 能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．属于中等难度.