Question

设椭圆的焦点在轴上

（Ⅰ）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】（1）由题意，得，

而，所以

所以椭圆的标准方程为

（2）设，

直线的直线方程为，当时，，

故点坐标，

由题意

得

即

解得

又点在曲线上，，解得

则点在定直线.

根据题意确定的大小，以及，可以很快求出椭圆的方程，但容易弄混长轴长（）、短轴长（）和焦距（）的概念，简单题；第（2）属于定直线问题，对于定直线问题，需要根据题意确定动点的坐标，再确定动点横纵坐标的关系，其实是变向的考查求动点的轨迹方程问题，本题可以设出点的坐标，根据垂直关系，利用向量或斜率求出的坐标关系式，再利用在圆锥曲线上，即可求出点坐标，继而能够确定点在定直线上，属于中档题.

【考点定位】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线与直线，直线与椭圆的位置关系.