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已知函数f(x)=x(x-6)+alnx在x∈(2,+∞)上不具有单调性. (I...

已知函数f(x)=x(x-6)+alnx在x∈(2,+∞)上不具有单调性.
(I)求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若f'(x)是f(x)的导函数,设manfen5.com 满分网,试证明:对任意两个不相等正数x1、x2,不等式manfen5.com 满分网恒成立.
(Ⅰ)求函数在x∈(2,+∞)上不具有单调性时实数a的取值范围,可以考虑求导函数的方法,则导函数在(2,+∞)上即有正也有负,即有零点,求出范围即可. (Ⅱ)由(I)求出g(x)的函数表达式,然后求导函数h(x),通过判断h(x)的单调性求出g'(x),然后可以得到函数是增函数,对任意两个不相等正数x1、x2,即可得到不等式成立. 【解析】 (I), ∵f(x)在x∈(2,+∞)上不具有单调性,∴在x∈(2,+∞)上f'(x)有正也有负也有0, 即二次函数y=2x2-6x+a在x∈(2,+∞)上函数值有负数. ∵y=2x2-6x+a是对称轴是,开口向上的抛物线, ∴2•22-6•2+a<0的实数a的取值范围(-∞,4) 故答案为(-∞,4). (II)由(I), ∵a<4,∴,(8分) 设,,h(x)在是减函数,在增函数, 当时,h(x)取最小值∴从而g'(x),∴, 函数是增函数,x1、x2是两个不相等正数, 不妨设x1<x2,则 ∴, ∵x2-x1>0,∴ ∴,即
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考点分析:
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