Question

（1）求（1+x+x²+x³）（1-x）⁷的展开式中x⁴的系数；
（2）求（x+-4）⁴的展开式中的常数项；
（3）求（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）⁵⁰的展开式中x³的系数．

Answer

（1）由等比数列的前n项和公式，可将原式化为（1-x4）（1-x）6，进而分析x4取得的情况，计算可得答案，
（2）对（x+-4）4变形可得，分析可得，要在展开式中取得常数项，则必须在（2-x）8中取得x4项，进而由二项式定理，计算可得答案；
（3）根据题意，原式可变形为，要在展开式中取得x3项，必须在（1+x）51取得x4项，进而由二项式定理，计算可得答案．
【解析】
（1）原式=（1-x）7=（1-x4）（1-x）6，
展开式中x4的有两种情况，在（1-x4）中取（-x4），在（1-x）6中取1，或在（1-x4）中取（1），在（1-x）6中取x2，
其系数为（-1）4C64-1=14．
（2）（x+-4）4==，
要在展开式中取得常数项，则必须在（2-x）8中取得x4项，
故其原式的展开式中常数项为C8424•（-1）4=1120．
（3）原式==；
要在展开式中取得x3项，必须在（1+x）51取得x4项，
故其原式的展开式中x3的系数为C514．