Question

设a_n=1+q+q²+…+q^n-1（n∈N^*，q≠±1），A_n=C_n¹a₁+C_n²a₂+…+C_nⁿa_n．
（1）用q和n表示A_n；
（2）当-3＜q＜1时，求．

Answer

（1）利用等比数列的前n项和公式求出an，利用二项式系数和是2n及二项式定理的逆用，求出An．
（2）先化简，再利用公式其中0＜|q|＜1求出极限值．
【解析】
（1）因为q≠1，
所以an=1+q+q2+…+qn-1=．
于是An=Cn1+Cn2+…+Cnn
=[（Cn1+Cn2+…+Cnn）-（Cn1q+Cn2q2+…+Cnnqn）]
={（2n-1）-[（1+q）n-1]}
=[2n-（1+q）n]．
（2）=[1-（）n]．
因为-3＜q＜1，且q≠-1，
所以0＜||＜1．
所以=．