Question

椭圆C的中心坐标为原点O，焦点在y轴上，焦点到相应准线的距离以及离心率均为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A．
（1）求椭圆方程；
（2）若的取值范围｡．

Answer

（1）利用待定系数法求椭圆的方程，设出椭圆C的标准方程，依条件得出a，b的方程，求出a，b即得椭圆C的方程．
（2）先设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量条件即可求得m的取值范围，从而解决问题．
【解析】
（1）设椭圆C的方程：，则c2=a2-b2，，
故椭圆C的方程为y2+2x2=1．（4分）
（2）由，
∴．
∵，
∴λ+1=4，λ=3．
设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0，
因此△=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）
=4（k2-2m2+2）＞0，①
则x1+x2=．
∵，∴-x1=3x2，得
得3（x1+x2）2+4x1x2=0，
∴，
整理得：4k2m2+2m2-k2-2=0．
当时，上式不成立．
∴．
由①式得k2＞2m2-2，
∵λ=3，∴k≠0，，
所以或．
即所求m的取值范围为（14分）