Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，H是正方形AA₁B₁B的中心，，C₁H⊥平面AA₁B₁B，且．
（Ⅰ）求异面直线AC与A₁B₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C₁-B₁的正弦值；
（Ⅲ）设N为棱B₁C₁的中点，点M在平面AA₁B₁B内，且MN⊥平面A₁B₁C₁，求线段BM的长．

Answer

方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．（Ⅰ）求出中的有关向量，然后求出异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
（Ⅱ）利用求出平面AA1C1的法向量，通过求出平面A1B1C1的法向量，然后利用求二面角A-A1C1-B1的正弦值；
（Ⅲ）设N为棱B1C1的中点，设M（a，b，0），利用MN⊥平面A1B1C1，结合求出a，b，然后求线段BM的长．
方法二：（I）说明∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角，通过解三角形C1A1B1，利用余弦定理，．
求出异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．
（II）连接AC1，过点A作AR⊥A1C1于点R，连接B1R，说明∠ARB1为二面角A-A1C1-B1的平面角．连接AB1，在△ARB1中，通过，
求出二面角A-A1C1-B1的正弦值为．
（III）首先说明MN⊥A1B1．取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，推出ND⊥A1B1．证明A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，延长EM交AB于点F，
连接NE．连接BM，在Rt△BFM中，求出．
方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．
依题意得

（I）【解析】
易得，
于是，
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．
（II）【解析】
易知．
设平面AA1C1的法向量=（x，y，z），
则即
不妨令，可得，
同样地，设平面A1B1C1的法向量=（x，y，z），
则即不妨令，
可得．
于是，
从而．
所以二面角A-A1C1-B的正弦值为．
（III）【解析】
由N为棱B1C1的中点，
得．设M（a，b，0），
则
由MN⊥平面A1B1C1，得
即
解得故．
因此，所以线段BM的长为．
方法二：
（I）【解析】
由于AC∥A1C1，故∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角．
因为C1H⊥平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，，
可得A1C1=B1C1=3．

因此．
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．
（II）【解析】
连接AC1，易知AC1=B1C1，
又由于AA1=B1A1，A1C1=A1C1，
所以△AC1A1≌△B1C1A1，过点A作AR⊥A1C1于点R，
连接B1R，于是B1R⊥A1C1，故∠ARB1为二面角A-A1C1-B1的平面角．
在Rt△A1RB1中，．
连接AB1，在△ARB1中，=，
从而．
所以二面角A-A1C1-B1的正弦值为．
（III）【解析】
因为MN⊥平面A1B1C1，所以MN⊥A1B1．
取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，
所以ND∥C1H且．
又C1H⊥平面AA1B1B，
所以ND⊥平面AA1B1B，故ND⊥A1B1．
又MN∩ND=N，
所以A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，
则ME⊥A1B1，故ME∥AA1．
由，
得，延长EM交AB于点F，
可得．连接NE．
在Rt△ENM中，ND⊥ME，故ND2=DE•DM．
所以．
可得．
连接BM，在Rt△BFM中，．