Question

已知数列{a_n}的各项都是正数，且满足：a=1，a_n+1=（4-a_n），n∈N．
（1）证明a_n＜a_n+1＜2，n∈N；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer

（1）先看当n=1时，根据题设求得a1，进而可知a＜a1＜2；再假设n=k时有ak-1＜ak＜2．通过ak-ak+1=（ak-1-ak）（4-ak-1-ak）．根据ak-1＜ak＜2．进而证明原式，综合这两个方面，证明命题正确．
（2）整理an+1=4-an得，2（an+1-2）=-（an-2）2，令bn=an-2，代入2（an+1-2）=-（an-2）2整理求得bn，进而求得
an．
【解析】
（1）1°当n=1时，a=1，a1=（4-a）=，
∴a＜a1＜2，命题正确．
2°假设n=k时有ak-1＜ak＜2．
则n=k+1时，ak-ak+1=（4-ak-1）-（4-ak）
=2（ak-1-ak）-（ak-12-ak2）
=（ak-1-ak）（4-ak-1-ak）．
而ak-1-ak＜0.4-ak-1-ak＞0，∴ak-ak+1＜0．
又ak+1=（4-ak）=[4-（ak-2）2]＜2
∴n=k+1时命题正确．
由1°、2°知，对一切n∈N时有an＜an+1＜2．
（2）an+1=（4-an）=[-（an-2）2+4]，
所以2（an+1-2）=-（an-2）2
令bn=an-2，则bn=-=-=-•=-，
又bn=-1，所以bn=-，即an=2+bn=2-．