Question

如图，设抛物线C：y=x²的焦点为F，动点P在直线l：x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点．
（1）求△APB的重心G的轨迹方程．
（2）证明∠PFA=∠PFB．

Answer

（1）设出A、B坐标，写出切线PA、PB方程，得到点P坐标，利用三角形重心坐标公式求重心G坐标．
（2）利用两个向量的夹角公式计算cos∠AFP和cos∠BFP相等，从而得到∠AFP=∠PFB．
方法2：利用P点到直线AF的距离和P点到直线BF的距离相等，可得FP 是AF和BF角平分线，故∠AFP=∠PFB．
【解析】
（1）设切点A、B坐标分别为（x，x2）和（x1，x12）（（x1≠x），
∴切线AP的方程为：2xx-y-x2=0；切线BP的方程为：2x1x-y-x12=0．
解得P点的坐标为：xP=，yP=xx1．
所以△APB的重心G的坐标为，yG====，
所以yp=-3yG+4xG2．
由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：x-（-3y+4x2）-2=0，即y=（4x2-x+2）．
（2）方法1：因为=（x，x2-），=（，xx1-），=（x1，x12-）．
由于P点在抛物线外，则||≠0．
∴cos∠AFP===，
同理有cos∠BFP===，
∴∠AFP=∠PFB．
方法2：①当x1x=0时，由于x1≠x，不妨设x=0，则y=0，所以P点坐标为（，0），
则P点到直线AF的距离为：d1=．
而直线BF的方程：y-=x，即（x12-）x-x1y+=0-0．
所以P点到直线BF的距离为：d2===
所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB．
②当x1x≠0时，直线AF的方程：y-=（x-0），即（x2-）x-xy+=0，
直线BF的方程：y-=（x-0），即（x12-）x-x1y+=0，
所以P点到直线AF的距离为：d1===，
同理可得到P点到直线BF的距离d2=，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB．