Question

已知抛物线C：y=-x²+6，点P（2，4）、A、B在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互补．
（1）证明：直线AB的斜率为定值．（2）当直线AB在y轴上的截距为正数时，求△PAB面积的最大值及此时直线AB的方程．

Answer

（1）设出A、B坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，求出A、B横坐标之差，纵坐标之差，从而求出AB斜率．
（2）设出AB直线方程，与抛物线方程联立，运用根与系数的关系求AB长度，计算P到AB的距离，计算△PAB面积，
使用基本不等式求最大值．
【解析】
（Ⅰ）证：易知点P在抛物线C上，设PA的斜率为k，则直线PA的方程是y-4=k（x-2）．
代入y=-x2+6并整理得x2+2kx-4（k+1）=0此时方程应有根xA及2，
由韦达定理得：
2xA=-4（k+1），∴xA=-2（k+1）．∴yA=k（xA-2）+4．=-k2-4k+4．∴A（-2（k+1），-k2-4k+4）．
由于PA与PB的倾斜角互补，故PB的斜率为-k．
同理可得B（-2（-k+1），-k2+4k+4）
∴kAB=2．
（Ⅱ）∵AB的方程为y=2x+b，b＞0．代入方程y=-x2+6消去y得x2+2x+b-6=0．
|AB|=2．
∴S=|AB|d=•2．
此时方程为y=2x+．