Question

在边长为5的菱形ABCD中，AC=8．现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．
（I）求证：平面ABD⊥平面CBD；
（II）若M是AB的中点，求折起后AC与平面MCD所成角的一个三角函数值．

Answer

（I）由已知中边长为5的菱形ABCD中，AC=8．结合棱形的几何性质，我们易得到AO⊥OC，又AO⊥BD，结合线在垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，即可得到答案．
（II）分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，结合M是AB的中点，我们求出几何体中各顶点的坐标，进而求出直线AC的方向向量和平面MCD的法向量，代入向量夹角公式即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，记AC，BD交点为O，AD=5，∴OA=4，OD=3
翻折后变成三棱椎A-BCD，在△ACD中，
AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos∠ADC
=25+25-2×5×5×=32
在△AOC中，OA2+OC2=32=AC2，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD=O，
∴AO⊥平面BCD，（4分）
又AO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知OA，OC，OD两两互相垂直，分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，
则A（0，0，4），B（0，-3，0），C（4，0，0），D（0，3，0），
M（0，-，2），=（4，-3，0），=（4，0，-4），（8分）
设平面MCD的一个法向量为，则由，得，（10分）
令y=4，有（10分）
设AC与平面MCD所成角为θ，sinθ=||=
∴AC与平面MCD所成角的正弦值为，（12分）