Question

椭圆的两个焦点F₁、F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥F₁F₂，且|PF₁|=．
（I）求椭圆C的方程．
（II）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由，知．由PF1⊥F1F2，知，，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为y=-，由，得A，=，由此知存在三个内接等腰直角三角形．
【解析】
（Ⅰ）∵∴
又PF1⊥F1F2，∴，，
∴2a=|PF1|+|PF2|=4则c=，∴a=2，b2=1
∴所求椭圆方程为．（6分）
（Ⅱ）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），
由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，
故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为y=-，
由，得A，
∴=，（9分）
用-代替上式中的k，得|BC|=，由|AB|=|BC|，得|k|（4+k2）=1+4k2
∵k＜0，∴解得：k=-1或k=，故存在三个内接等腰直角三角形．（12分）