Question

数列{a_n}各项均为正数，s_n为其前n项的和，对于n∈N^*，总有a_n，s_n，a_n²成等差数列．
（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项的和为T_n，数列{T_n}的前n项的和为R_n，求证：当n≥2时，R_n-1=n（T_n-1）
（3）设A_n为数列{}的前n项积，是否存在实数a，使得不等式A_n＜a对一切n∈N⁺都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer

第1问主要利用等差中项得出Sn与an的关系式，在利用可求出an．第2问就是要用数学归纳法证明，先验证：n=2时等式成立，再假设 n=k时等式成立，推n=k+1时成立，其中有要利用好假设条件和Rk=Rk-1+Tk就可证出．第3问写出An的表达式后，构造这个关于正整数n的函数，因为An是一个n项的乘积，所以采用作商的方法判断出g（n）的单调性，从而使不等式得到证明．
【解析】
（1）由已知有2Sn=an+an2．
当n=1时，2a1=a1+a12⇒a1=1，
当n≥2时，2Sn-1=an-1+an-12，∴2Sn=an+an2，
两式相减有：2an=an-an-1+an2-an-12，
即an-an-1=1．
所以an=n．
（2）由（1）得，Rn=T1+T2+T3+…+Tn．
当n=2时，Rn-1=R1=T1=1，n（T2-1）=1，
故当n=2时命题成立．
假设n=k时成立，即Rk-1=k（Tk-1），则当n=k+1时，=，
说明当n=k+1时命题也成立．
（3）据已知…，则：…，=＜1
故g（n）单调递减，于是
要使不等式对一切n∈N+都成立只需即可．