Question

如图，已知椭圆C过点M（2，1），两个焦点分别为，O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）试问直线MA、MB的斜率之和是否为定值，若为定值，求出以线段AB为直径且过点M的圆的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题设知半焦距，长半轴长，短半轴长，由此能得到椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），，由知x2+2mx+2m2-4=0，得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4．由此入手能够求出圆的方程．
【解析】
（Ⅰ）由题设知：半焦距，
长半轴长，
短半轴长，于是椭圆C的方程是：；
（Ⅱ）设直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）
由知x2+2mx+2m2-4=0，得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4；
∴为定值；
由线段AB为直径且过点M的圆知：MA⊥MB有kMA•kMB=-1，得kMA=1，kMB=-1；
∴，又x1+x2=-2m；得；
∴，圆的方程为：
即：．