Question

设等比数列{a_n}的前n项和S_n，首项a₁=1，公比．
（Ⅰ）证明：S_n=（1+λ）-λa_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若λ=1，记，数列{c_n}的前项和为T_n，求证：当n≥2时，2≤T_n＜4．

Answer

（Ⅰ）先求等比数列{an}的前n项和Sn，再表达出，故可证；
（II）先求出bn，再进一步变形，判断出 是等差数列，根据等差数列的通项公式求出{bn}的通项公式；
（III）先求出Cn，再由错位相减法求出该数列的前n项和为Tn．
【解析】
（Ⅰ）证明：
而所以Sn=（1+λ）-λan（4分）
（Ⅱ），∴，∴，（6分）

∴是首项为，公差为1的等差数列，，即．（8分）

（Ⅲ）λ=1时，，∴（9分）
∴∴
相减得∴
∴，（12分）
又因为，∴Tn单调递增，
∴Tn≥T2=2，故当n≥2时，2≤Tn＜4．（13分）