Question

已知椭圆的长轴长为4，离心率为，F₁，F₂分别为其左右焦点．一动圆过点F₂，且与直线x=-1相切．
（Ⅰ） （ⅰ）求椭圆C₁的方程；（ⅱ）求动圆圆心轨迹C的方程；
（Ⅱ）在曲线C上有四个不同的点M，N，P，Q，满足与共线，与共线，且，求四边形PMQN面积的最小值．

Answer

（Ⅰ）利用待定系数法求出椭圆C1的a，b，c即可；因一动圆过点F2，且与直线x=-1相切可得此圆心到定点和到定直线的距离相等，它是抛物线，从而解决；
（Ⅱ）欲求四边形PMQN面积的最小值，先建立面积关于某一个变量的函数关系式，设直线MN的方程为：y=k（x-1）
利用抛物线定义求出|MN|，再结合向量垂直关系求得|PQ|，最后利用基本不等式求出所列函数的最小值即可．
【解析】
（Ⅰ）（ⅰ）由已知可得，
则所求椭圆方程．
（ⅱ）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为（1，0），准线方程为x=-1，则动圆圆心轨迹方程为C：y2=4x．
（Ⅱ）由题设知直线MN，PQ的斜率均存在且不为零
设直线MN的斜率为k（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则直线MN的方程为：y=k（x-1）
联立C：y2=4x消去y可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0
由抛物线定义可知：
设直线PQ的方程为，与椭圆的方程联立得
化简后，利用弦长公式可得|PQ|=
又
令1+k2=t＞1
故有
又∈（0，3）
可得
所以四边形PMQN面积的最小值为8．