Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c图象上一点M（1，m）处的切线方程为y-2=0，其中a，b，c为常数．
（Ⅰ）函数f（x）是否存在单调减区间？若存在，则求出单调减区间（用a表示）；
（Ⅱ）若x=1不是函数f（x）的极值点，求证：函数f（x）的图象关于点M对称．

Answer

（Ⅰ）f（x）=x3+ax2+bx+c，f′（x）=3x2+2ax+b，由题意，知m=2，b=-2a-3，c=a+4，，由此进行分类讨论能求出单调减区间．
（Ⅱ）由x=1不是函数f（x）的极值点，a=-3，b=3，c=1，f（x）=x3-3x2+3x+1=（x-1）3+2，设点P（x，y）是函数f（x）的图象上任一点，则y=f（x）=（x-1）3+2，点p（x，y）关于点M（1，2）的对称点为Q（2-x，4-y），再由点P的任意性知函数f（x）的图象关于点M对称．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=x3+ax2+bx+c，f′（x）=3x2+2ax+b，（1分）
由题意，知m=2，f（1）=1+a+b+c=2，f′（1）=3+2a+b=0，
即b=-2a-3，c=a+4（2分）
，（3分）
1当a=-3时，f′（x）=3（x-1）2≥0，函数f（x）在区间（-∞，+∞）上单调增加，
不存在单调减区间；（5分）
2当a＞-3时，-1-＜1，有

x （-） （-1-，1） （1，+∞）
f′（x） + - +
f（x） ↑ ↓ ↑

∴当a＞-3时，函数f（x）存在单调减区间，为[-1-，1]（7分）
3当a＜-3时，-1-＞1，有

x （-∞，1） （1，-1-） （-1-，+∞）
f′（x） + - +
f（x） ↑ ↓ ↑

∴当a＜-3时，函数f（x）存在单调减区间，为[1，-1-]（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x=1不是函数f（x）的极值点，则a=-3，
b=3，c=1，f（x）=x3-3x2+3x+1=（x-1）3+2（10分）
设点P（x，y）是函数f（x）的图象上任意一点，则y=f（x）=（x-1）3+2，
点p（x，y）关于点M（1，2）的对称点为Q（2-x，4-y），
∵f（2-x）=（2-x-1）3+2=-（x-1）3+2=2-y+2=4-y
∴点Q（2-x，4-y）在函数f（x）的图象上．
由点P的任意性知函数f（x）的图象关于点M对称．（14分）