Question

已知首项为1的数列{a_n}满足：对任意正整数n，都有：，其中c是常数．
（Ⅰ）求实数c的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列的前n项和为S_n，求证：S_2n-1＞S_2m，其中m，n∈N^*．

Answer

（Ⅰ）当a=1时，1×2=2×2+c，解得c=-3．
（Ⅱ）由得，由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅲ）由an=n2，知数列={n•}．由错位相减法求得．S2m=．所以S2n-1＞S2m，其中m，n∈N*．
【解析】
（Ⅰ）当a=1时，1×2=2×2+c，
解得c=-3．
（Ⅱ）∵，①
∴+…+=[（n-1）2-2（n-1）+3]•2n-1+c，②
①-②，并整理，得，
∴an=n2．
（Ⅲ）∵an=n2，
∴数列={n•}．
∴S2n-1=1+2+3+…+（2n-1）•，
-S2n-1=1+2+…+（2n-2）•+（2n-1）•，
∴S2n-1=1+++…+-（2n-1）•，
==，
∴．
同理，S2m=．
∴S2n-1＞S2m，其中m，n∈N*．