Question

函数的定义域为．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）设函数．若对于任意x₁∈，总存在x₂∈，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

Answer

（1）先求导函数，根据函数的定义域，可知导数大于0，从而函数在定义域内为增函数，所以可求函数的值域；（2）对函数g（x）求导，得 g′（x）=3（x2-a），根据，，可知g′（x）≤0，所以当时，g（x）为减函数，从而可求函数g（x）的值域；任给x1∈，，要使存在x2∈使得g（x2）=f（x1），则函数f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集，从而可得结论．
【解析】
（1）求导函数，，∵定义域为，∴f′（x）＞0
∴函数在定义域内为增函数，所以函数的值域为即
（2）对函数g（x）求导，得 g′（x）=3（x2-a）
因此，当时，g′（x）≤0，所以当时，g（x）为减函数，
从而当时，有
即当时，--------------（8分）
任给x1∈，，存在x2∈使得g（x2）=f（x1），
则-----（10分）
即，结合  解得 --（12分）