Question

已知，二次函数f（x）=ax²+bx+c及一次函数g（x）=-bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a+b+c=0．
（Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；
（Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A₁B₁时，试求|A₁B₁|的取值范围．

Answer

（I）首先将两函数联立得出ax2-2bx+c=0，再利用根的判别式得出它的符号即可；
（II）利用线段AB在x轴上的射影A1B1长的平方，以及a，b，c的符号得出|A1B1|的范围即可．
【解析】
依题意，知a、b≠0
∵a＞b＞c且a+b+c=0
∴a＞0且c＜0
（Ⅰ）令f（x）=g（x），
得ax2+2bx+c=0．（*）
△=4（b2-ac）
∵a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴△＞0
∴f（x）、g（x）相交于相异两点．
（Ⅱ）设方程的两根为x1，x2，则|A1B1|2==4[（+）2+]，
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞-（a+c）＞c，a＞0，
∴-2＜＜-，
此时3＜A1B12＜12，
∴＜|A1B1|＜2．