Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁．
（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）若直线AC与平面A₁BC所成的角为θ，二面角A₁-BC-A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明．

Answer

本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力．
（1）若要证明AB⊥BC，可以先证明AB⊥平面BC1，由线面垂直的性质得到线线垂直．
（2）要判断直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1-BC-A的大小为φ的大小关系，可以先做出二面角的平面角，再根据三角函数的单调性进行解答．也可以根据（1）的结论，以以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系利用空间向量，求出两个角的正弦值，再根据三角函数的单调性解答．
【解析】
（Ⅰ）证明：如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，得
AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，
所以AD⊥BC．
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
则AA1⊥底面ABC，
所以AA1⊥BC．
又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，
又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．

（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1是二面角A1-BC-A的平面角，即∠ACD=θ，∠ABA1=φ，
于是在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，，
由AB＜AC，得sinθ＜sinφ，又，所以θ＜φ，

解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分
别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AA1=a，AC=b，
AB=c，则B（0，0，0），A（0，c，0），，
于是，．
设平面A1BC的一个法向量为n=（x，y，z），
则由．得．
可取n=（0，-a，c），于是与n的夹角β为锐角，则β与θ互为余角．，，
所以，
于是由c＜b，得，
即sinθ＜sinφ，又，所以θ＜φ，