Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，都有a_n=（S_n+n）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求{a_n}的通项公式．
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）依题意可求得a1=2，当n≥2且n∈N*时，有an=Sn-Sn-1，从而得an-3an-1=2，{an+1}是以a1+1=3为首项，3为公比的等比数列，从而可求得an+1=3n，继而可得答案；
（2）利用（1）的结论an=3n-1，可得nan=n•3n-n，设数列{n•3n}的前n项和为Kn，利用错位相减法可求得Kn，从而可求得Tn．
【解析】
（1）∵对任意n∈N*，都有an=（Sn+n），且S1=a1，
∴a1=（S1+1）=（a1+1），得a1=2…1分
又由an=（Sn+n），得Sn=an-n，
当n≥2且n∈N*时，有an=Sn-Sn-1=（an-n）-[an-1-（n-1）]=an-an-1-1，…3分
即an-3an-1=2，
∴an+1=3（an-1+1），由此表明{an+1}是以a1+1=3为首项，3为公比的等比数列．
∴an+1=3•3n-1=3n，
∴an=3n-1…5分
故数列{an}的通项公式为an=3n-1…6分
（2）nan=n（3n-1）=n•3n-n，设数列{n•3n}的前n项和为Kn，
则Kn=1•31+2•32+3•33+…+n•3n…8分
∴3Kn=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，
两式相减，得
-2Kn=31+32+33+…+3n-n•3n+1=-n•3n+1…10分
∴Kn=…12分
因此Tn=Kn-=…14分