Question

抛物线x²=-2y中斜率为2的平行弦（动弦）的中点的轨迹方程是     ．

Answer

设出直线方程和两个交点坐标，与抛物线方程联立消去y，利用判别式大于0求得b的范围，同时根据韦达定理分别求得x1+x2的值，利用直线方程求得y1+y2的表达式，设出AB的中点的坐标，可求得x=-2，同时根据b的范围可确定y的范围，最后可求得所求的轨迹方程．
【解析】
设直线方程为y=2x+b
设两个交点为A（x1，y1），B（x2，y2）联立抛物线x2=-2y与直线方程y=2x+b，
消去y，可得x2+4x+2b=0△=16-4•1•2b＞0∴b＜2 ①
另根据韦达定理有：x1+x2=-4 ②
而A（x1，y1），B（x2，y2）都在直线y=2x+b上，可分别代入得到：y1=2x1+b y2=2x2+b
∴y1+y2=2（x1+x2）+2b将②代入上式，可得：y1+y2=2b-8 ③
设AB的中点M（x，y），可根据中点坐标公式表示为：x=
y= 分别将②，③代入，可得：x=-2 y=b-4
由条件①：b＜2，可得：y=b-4＜2-4＜-2
∴M点（即动弦AB中点）的轨迹方程时：x=-2这条直线位于y=-2之下的部分，
即轨迹方程x+2=0（y＜-2）
故答案为：x+2=0（y＜-2）