Question

某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀．
（Ⅰ）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值；

区间	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）	[95，100]
人数	50	a	350	300	b

（II）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；
（Ⅲ）在（II）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望．

Answer

（I）根据频数=频率×样本容量，频率=×组距，可求出a与b的值；
（Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x，根据40人中优秀的比例等于1000人中优秀的比例，建立等式，解之即可；
（Ⅲ）X的取值为0，1，2，然后利用排列组合的知识求出相应的概率，最后利用数学期望公式解之即可．
（本小题满分13分）
【解析】
（Ⅰ）依题意，a=0.04×5×1000=200，b=0.02×5×1000=100．…（4分）
（Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x，则，解得：x=30，
即其中成绩为优秀的学生人数为30名．…（7分）
（Ⅲ）依题意，X的取值为0，1，2，，，，
所以X的分布列为

X 1 2
P

，所以X的数学期望为．…（13分）