Question

椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，右顶点为A，P为椭圆C上任意一点．已知的最大值为3，最小值为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点（M、N不是左右顶点），且以MN为直径的圆过点A．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer

（1）先确定|PF1|+|PF2|=2a且a-c≤|PF1|≤a+c，再计算，利用的最大值为3，最小值为2，建立方程组，即可求得椭圆方程；
（2）将y=kx+m代入椭圆方程得一元二次方程，利用韦达定理，及MN为直径的圆过点A，即可证得结论．
（1）【解析】
∵P是椭圆上任一点，∴|PF1|+|PF2|=2a且a-c≤|PF1|≤a+c，
∴=
==…（2分）
当|PF1|=a时，y有最小值a2-2c2；当|PF2|=a-c或a+c时，y有最大值a2-c2．
∴，，b2=a2-c2=3．
∴椭圆方程为．…（4分）
（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），将y=kx+m代入椭圆方程得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0．
∴…（6分）
∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，，
∵MN为直径的圆过点A，∴，
∵右顶点为A，∴A（2，0）
∴=（x1-2，y1），=（x2-2，y2），
∴（x1-2）（x2-2）+y1y2=0
∴7m2+16km+4k2=0，
∴或m=-2k都满足△＞0，…（9分）
若m=-2k直线l恒过定点（2，0）不合题意舍去，
若直线l：恒过定点．…（12分）