Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=3，F为线段DE上的动点．
（Ⅰ）若F为DE的中点，求证：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）若二面角E-BC-F与二面角F-BC-D的大小相等，求DF长．

Answer

（I）连接AC，BD交于O，连OF，利用三角形的中位线平行于底边得到OF∥BE，利用直线与平面平行的判定定理得证．
（II）法一：利用二面角的平面角的定义，通过作辅助线，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质找出二面角E-BC-D的平面角与二面角F-BC-D的平面角，利用已知条件得到线段的长度关系．
法二：通过建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，利用向量的数量积公式求出二面角E-BC-F的余弦值，同理求出二面角D-BC-F的余弦值，根据已知它们的绝对值相等，列出方程求出DF的长度．
证明：（Ⅰ）连接AC，BD交于O，连OF，如图1
∵F为DE中点，O为BD中点，
∴OF∥BE，OF⊂平面ACF，BE⊄平面ACF，
∴BE∥平面ACF．…（6分）
（Ⅱ）如图2，过E作EH⊥AD于H，过H作MH⊥BC
于M，连接ME，同理过F作FG⊥AD于G，过G作NG⊥BC于N，连接NF，
∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE⊂平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，EH⊂平面DAE，
∴CD⊥EH，CD∩AD=D，CD，AD⊂平面ABCD，EH⊥平面ABCD，
∴HE⊥BC，
∴BC⊥平面MHE，
∴∠HME为二面角E-BC-D的平面角，
同理，∠GNF为二面角F-BC-D的平面角，
∵MH∥AB，
∴，
又，
∴，而∠HME=2∠GNF，
∴，
∴，，
又GF∥HE，
∴，
∴．…（15分）
解法二：
（Ⅱ）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，
∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE⊂平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，如图建立坐标系，
则E（3，0，0），F（a，0，0），，A（3，0，3），D（0，0，0）
由得，设平面ABCD，
且，
由
设平面BCF，且，
由
设平面BCE，且，
由
设二面角E-BC-F的大小为α，二面角D-BC-F的大小为β，α=β，，
∴，
∵0＜a＜3，∴．…（15分）