Question

已知函数，g（x）=-ax²+4x-m，a，m∈R．
（I）当a=1，x∈[0，3]时，求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若a＜2时关于x的方程f（x）=g（x）总有三个不同的根，求m的取值范围．

Answer

（I）当a=1时，f′（x）=x2-5x+6=（x-2）（x-3），x∈[0，2]，f′（x）≥0，f（x）单调递增；x∈[2，3]，f′（x）≤0，f（x）单调递减，由此能求出f（x）的最大值和最小值．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x），则，则h′（x）=ax2-（a+2）x+2=（ax-2）（x-1）f（x）=g（x）总有三个不同的根，即y=h（x）的图象和x轴总有三个不同的交点，由此能求出m的取值范围．
【解析】
（I）f′（x）=ax2-（3a+2）x+6=（ax-2）（x-3）a=1，
f′（x）=x2-5x+6=（x-2）（x-3），
x∈[0，2]和x∈[3，+∞]，f′（x）≥0，f（x）单调递增；
x∈[2，3]，f′（x）≤0，f（x）单调递减；
∴；f（x）min为f（0）=0和的最小者，
∴f（x）min=0．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x），
则
则h′（x）=ax2-（a+2）x+2=（ax-2）（x-1）f（x）=g（x）总有三个不同的根，
即y=h（x）的图象和x轴总有三个不同的交点
①当a＜0时，，h（x）的极大值为，
h（x）的极小值为，
要使y=h（x）的图象和x轴总有三个不同的交点，
需满足在a＜0时恒成立，
即在a＜0时恒有解，
∴m≥-1，
又，，
∴m≤0．
∴-1≤m≤0．
②当a=0时，h（x）=-x2+2x+m，显然不符合题意，舍去；
③当0＜a＜2时，h′（x）=ax2-（a+2）x+2=（ax-2）（x-1），
h（x）的极大值为，
h（x）的极小值为
即，
即，舍去．
综上述，m∈[-1，0]．