Question

设函数f（x）=e^x（e为自然对数的底数），（n∈N^*）．
（1）证明：f（x）≥g₁（x）；
（2）当x＞0时，比较f（x）与g_n（x）的大小，并说明理由；
（3）证明：（n∈N^*）．

Answer

（1）设，可得函数φ1（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，在x=0处取得唯一极小值，从而可得对任意实数x均有 φ1（x）≥φ1（0）=0，即可得到结论；
（2）当x＞0时，f（x）＞gn（x），用数学归纳法证明，第2步证明的关键是证明φk+1（x）=f（x）-gk+1（x）在（0，+∞）上为增函数；
（3）先证对任意正整数n，gn（1）＜e，再证对任意正整数n，=，利用分析法、再利用数学归纳法和基本不等式法可以证明结论．
（1）证明：设，
所以．…（1分）
当x＜0时，，当x=0时，，当x＞0时，．
即函数φ1（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，在x=0处取得唯一极小值，…（2分）
因为φ1（0）=0，所以对任意实数x均有 φ1（x）≥φ1（0）=0．
即f（x）-g1（x）≥0，
所以f（x）≥g1（x）．…（3分）
（2）【解析】
当x＞0时，f（x）＞gn（x）．…（4分）
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，由（1）知f（x）＞g1（x）．
②假设当n=k（k∈N*）时，对任意x＞0均有f（x）＞gk（x），…（5分）
令φk（x）=f（x）-gk（x），φk+1（x）=f（x）-gk+1（x），
因为对任意的正实数x，，
由归纳假设知，．…（6分）
即φk+1（x）=f（x）-gk+1（x）在（0，+∞）上为增函数，亦即φk+1（x）＞φk+1（0），
因为φk+1（0）=0，所以φk+1（x）＞0．
从而对任意x＞0，有f（x）-gk+1（x）＞0．
即对任意x＞0，有f（x）＞gk+1（x）．
这就是说，当n=k+1时，对任意x＞0，也有f（x）＞gk+1（x）．
由①、②知，当x＞0时，都有f（x）＞gn（x）．…（8分）
（3）证明：先证对任意正整数n，gn（1）＜e．
由（2）知，当x＞0时，对任意正整数n，都有f（x）＞gn（x）．
令x=1，得gn（1）＜f（1）=e．
所以gn（1）＜e．…（9分）
再证对任意正整数n，=．
要证明上式，只需证明对任意正整数n，不等式成立．
即要证明对任意正整数n，不等式（*）成立．…（10分）
以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：
方法1（数学归纳法）：
①当n=1时，成立，所以不等式（*）成立．
②假设当n=k（k∈N*）时，不等式（*）成立，
即．…（11分）
则．
因为，…（12分）
所以．…（13分）
这说明当n=k+1时，不等式（*）也成立．
由①、②知，对任意正整数n，不等式（*）都成立．
综上可知，对任意正整数n，不等式成立．
…（14分）
方法2（基本不等式法）：
因为，…（11分），
…，，
将以上n个不等式相乘，得．…（13分）
所以对任意正整数n，不等式（*）都成立．
综上可知，对任意正整数n，不等式成立．
…（14分）