Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，求△ABC的面积S．

Answer

（1）由可得b（cosA-2cosC）+（a-2c）cosB=0
法一：根据正弦定理可得，sinBcosA-2sinBcosC+sinAcosB-2sinCcosB
法二：根据余弦定理可得，b×=0
化简可得，然后根据正弦定理可求
（2）由（1）c=2a可求c，由||可求b，结合余弦定理可求cosA，利用同角平方关系可求sinA，代入三角形的面积公式S=可求
【解析】
（1）法一：由可得b（cosA-2cosC）+（a-2c）cosB=0
根据正弦定理可得，sinBcosA-2sinBcosC+sinAcosB-2sinCcosB=0
∴（sinBcosA-sinAcosB）-2（sinBcosC+sinCcosB）=0
∴sin（A+B）-2sin（B+C）=0
∵A+B+C=π
∴sinC-2sinA=0
∴
（法二）：由可得b（cosA-2cosC）+（a-2c）cosB=0
根据余弦定理可得，b×=0
整理可得，c-2a=0
∴=2
（2）∵
由（1）可知c=2a=4
∴b=3
∴cosA==，sinA==
∴△ABC的面积S===