Question

设数列a₁，a₂，…，a_n，…满足a₁=a₂=1，a₃=2，且对任何自然数n，都有a_na_n+1a_n+2≠1，又a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，则a₁+a₂+…+a₁₀₀的值是    ．

Answer

由anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3 可得an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4相减可得an+4=an，再由已知可推得数列为，1，1，2，4循环出现，故可求解a1+a2+…+a100的值
【解析】
∵对任何自然数n，都有anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3  ①∴an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4，②
②-①，得anan+1an+2（an+4-an）=an+4-an，即（an+4-an）（anan+1an+2-1）=0
由已知anan+1an+2≠1，即anan+1an+2-1≠0，只能an+4-an=0，即得an+4=an．
又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，a1=a2=1，a3=2，得a4=4．
故数列为，1，1，2，4的循环出现
∴a1+a2+…+a100=25（1+1+2+4）=200．
故答案为：200