Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知函数满足：对于任意x∈R，f（x）≤f（A））恒成立．
（1）求角A的大小；
（2）若，求BC边上的中线AM长的取值范围．

Answer

（1）由题意可得f（A）为函数f（x）的最大值，即=1，由此求得角A 的值．
（2）利用余弦定理可得AM2=-+，3=b2+c2-bc，从而得到 3＜b2+c2≤6，由此求得BC边上的中线AM长的
取值范围．
【解析】
（1）由题意可得f（A）为函数f（x）的最大值，即=1，∴A=．
（2）若，则BM=，△ABM中，由余弦定理可得 c2=+AM2-2×cos∠AMB ①．
在△ACM中，由余弦定理可得 b2 =+AM2-2×cos∠AMC=+AM2 +2×cos∠AMB ②．
把①、②相加可得AM2 =-．
△ABC中，再由余弦定理可得 3=b2+c2-2bc•cosA=b2+c2-bc，
故有  b2+c2 =3+bc＞3，且 b2+c2-bc=3≥b2+c2-，
化简可得3＜b2+c2≤6，∴AM∈（，]．